О геометрии

Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. 

(В. Произволов)

Ну очень интересная задача

Четыре точки окружности следуют в порядке A, B, C, D. Продолжения хорды AB за точку B и хорды CD за точку C пересекаются в точке E, причём угол AED равен 60 градусов. Угол ABD в три раза больше угла BAC. Доказать, что AD - диаметр окружности.

Решаем устно

Величина угла между двумя хордами

Вспомни следующий факт:.

Пусть A, B, C, D—точки на окружности в указанном порядке. 
Тогда угол между хордами AC и BD равен (AB + CD)/2, 
угол между хордами AB и CD равен |AD − CB|/2.
(Для доказательства нужно через конец одной из хорд

провести хорду, параллельную другой хорде.)

Задача1. На окружности даны точки A, B, C, D в указанном порядке.

M—середина дуги AB. Обозначим точки пересечения хорд MC и MD

с хордой AB через E и K. Докажите, что KECD—вписанный четы-

рёхугольник.

Задача 2. На окружности даны точки A, B, C, D в указанном порядке; A1, B1, C1 и D1 —середины дуг AB, BC, CD и DA соответственно. Докажите, что A1C1 ⊥ B1D1.

Углы и окружности

1. Из точки В на окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу окружности. Найди угол между ними.
2. Из точки А на окружности проведены хорды АВ и АС, равные радиусу. Найти величину угла ВАС.  

Через 2 недели - Новый год!!!

Сосчитай треугольники

Повторяем

Это мы изучали в сентябре 2010 года. Проверь себя!

Найди пары параллельных прямых:

Думаем, размышляем

В треугольнике АВС биссектрисы углов А и В пересекаются в точке К. 

Определи вид угла АКВ.

Сформулируй гипотезу. Докажи её или опровергни.

Углы, связанные с окружностью

Мы уже знакомы с центральными и вписанными углами. 

Дополняем тему:

1. Угол между двумя пересекающимися хордами.
2. Угол между двумя секущими, пересекающимися в какой-либо точке вне круга.
3. Угол, образованный касательной и хордой, проведённой через точку касания.
4. Угол, образованный касательной и секущей.
5. Угол, образованный двумя касательными.

Домашнее задание. Градусная мера каждого из этих углов: теорема, доказательство.

И опять про биссектрису

В треугольнике АВС углы  А и В равны. 

Докажи, что биссектриса внешнего угла при вершине С параллельна стороне АВ.

Задача понедельника

Могут ли биссектрисы двух углов треугольника быть перпендикулярными?

Ответы "да" или "нет" не принимаются. Приводите доказательства.

Практическая задача

Три латунных куба с рёбрами 3 см, 4 см и 5 см

переплавили в один куб.

Какую длину имеет ребро этого куба?



Докажи, что Коля ошибся при измерениях

Коля измерил длины сторон и диагоналей выпуклого четырёхугольника 
и получил следующие результаты: 6, 7, 8, 9, 10 и 11 см. 
Докажи, что Коля ошибся.


Может, пригодится следующая задача.
Пусть L - сумма длин диагоналей, P - периметр выпуклого четырёхугольника. 
Докажи, что L< P< 2L

Понедельник - день тяжёлый

Поэтому задача сегодня лёгкая - найди периметр треугольника, если длины его сторон равны 5 м, 7 м и 13 м.

Тест "Определи вид треугольника"

 1. Биссектриса одного из внутренних углов делит пополам противоположную сторону.

 2. Два угла равны п/7 и 2п/7.

 3. Две высоты равны.

 4. Две стороны равны, и один из углов равен 60 градусов.

 5. Медиана перпендикулярна стороне, к которой она проведена.

 6. Две медианы равны.

 7. Биссектриса и высота, выходящие из одной вершины, равны.

 8. Медиана равна половине стороны, к которой она проведена.

 9. Один из внешних углов равен 13п/7, а один из внутренних углов равен п/4.

10.Внешний угол в 2 раза больше внутреннего, не смежного с ним.

Возможные ответы на тест: равносторонний, равнобедренный, прямоугольный, тупоугольный, остроугольный, не определён и не существует.