Исследовательские задачи

Три исследовательские задачи.

1. Характеристические свойства медиан и средних линий. 

Медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников. Средние линии делят 
треугольник на 4 равных треугольника. 

Какие из этих свойств являются характеристическими?

2. Ломаная.

На координатной плоскости задана такая ломаная, что любая вертикальная прямая имеет с ней не более одной точки. 

Задайте эту ломаную одной формулой.

3. Сложение многоугольников.

Пусть на плоскости заданы два многоугольника m и n  и точка O. 

Суммой многоугольни

ков назовём множество точек K, определяемых векторным равенством OK = OM + ON, где M - точка многоугольника m, N - точка многоугольника n. 

 Исследовать, какой вид может иметь сумма многоугольников.

Из задач конкурса "Эврика!" журнала "Математика для школьников"

(1 и 2 тур конкурса 2010 года)

1.   Исследуйте возможный вид всех выпуклых четырёхугольников, обладающих следующим свойством: если с помощью прямолинейных разрезов каждый такой четырёхугольник разделить на три треугольника, то среди них обязательно найдётся хотя бы один прямоугольный.                                                                                                                                                                                                                                                    В. Произволов

2.   Внутри правильного треугольника выбрана произвольная точка М. 
      Точки Х,   Y, Z симметричны точке М относительно сторон треугольника.
      При каком выборе точки М площадь треугольника XYZ окажется наибольшей?

        С.Дворянинов.

3.   Рассмотрим два произвольных треугольника D₁ и D₂ с длинами сторон

   соответственно и . Треугольники, задаваемые 

    упорядоченными тройками их длин, мы будем обозначать также (a₁, b₁, c₁) и (a₂, b₂, c₂).

 а) Покажите, что набор трех чисел а = а₁ + а₂,   b = b₁ + b₂,  c = c₁ + c₂ задает длины сторон некоторого треугольника D, который мы назовем суммой треугольников D₁ и D₂, обозначая это так: D = D₁ + D₂, или так: (а,   b,  c) = (а₁, b₁, c₁) +  (а₂, b₂, c₂).

 б)  Всегда ли сумма прямоугольных треугольников –  прямоугольный треугольник? Если нет – укажите условия, которым должны удовлетворять два прямоугольных треугольника, чтобы  их сумма была прямоугольным треугольником.

  в)  Можно ли аналогичным образом определить операцию «умножения треугольников», то есть «произведением» треугольников D₁ и D₂ объявить треугольник с длинами сторон (а₁а₂, b₁b₂, c₁c₂)?

  г) Задание для исследования.

Какие ещё вы могли бы придумать операции на множестве треугольников, и какими свойствами они обладают?

С.Федин