Статистика итогов математических олимпиад различного уровня показывает, что к решению геометрических задач приступают буквально единицы конкурсантов. Даже решение простых задач из школьного учебника вызывает затруднения у многих учащихся.
Олимпиадные геометрические задачи полезны не только для проверки математических способностей и уровня математической подготовленности учащихся в жестких соревновательных условиях. На занятиях математического кружка, в спокойной обстановке, конкурсная задача является источником небольшого самостоятельного исследования, творческого открытия. Известный педагог-математик Д. Пойа писал: «Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия».
Задачи олимпиад МФТИ - 2011/2012
Задачи повышенной трудности (по материалам математических олимпиад, проведённых в Санкт-Петербурге), 8-9 классы
- Докажите, что длина медианы, выходящей из тупого угла треугольника, меньше четверти периметра этого треугольника.
- В трапеции ABCD (AD и BC - основания) AB=BC, AC=CD и BC+CD=AD. Найдите углы трапеции.
- Из точки М, взятой вне угла А, проведены к нему две секущие прямые, одна из которых отсекает на сторонах угла два равных отрезка АВ и АС, а другая пересекает эти стороны в точках D и E соответственно. Докажите, что BD/CE=MD/ME.
- В выпуклом четырёхугольнике ABCD угол BAC равен углу CBD и угол ACD равен углу BDA. Докажите, что AC2=BC2+AD2
- M - середина медианы AD треугольника АВС, имеющего площадь S. Прямая BM пересекает сторону АС в точке F. Найдите площадь треугольника AMF.
