Задачи на построение

1. Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трёх заданных точках, не лежащих на одной прямой?
2. От параллелограмма осталось только три точки: вершина и середины двух противоположных сторон. Восстановите параллелограмм.

Седьмая всероссийская олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина

В память о выдающемся деятеле российского математического образования, всемирно известном знатоке и патриоте элементарной геометрии Игоре Федоровиче Шарыгине (1937–2004) Математический институт им В.А. Стеклова РАН, Департамент образования города Москвы, Московский центр непрерывного математического образования, Московский институт открытого образования,Открытый лицей ВЗМШ, при поддержке компьютермаркета «НИКС» и АНО «Школа нового поколения», уже седьмой год проводят геометрическую олимпиаду. В оргкомитет и жюри олимпиады входят известные ученые, педагоги, энтузиасты математического просвещения из разных российских регионов.

Условия задач заочного тура Седьмой всероссийской олимпиады по геометрии имени И.Ф. Шарыгина опубликованы на странице

http://www.geometry.ru/olimp/sharygin/2011/zaochn.pdf

О геометрии

Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. 

(В. Произволов)

Ну очень интересная задача

Четыре точки окружности следуют в порядке A, B, C, D. Продолжения хорды AB за точку B и хорды CD за точку C пересекаются в точке E, причём угол AED равен 60 градусов. Угол ABD в три раза больше угла BAC. Доказать, что AD - диаметр окружности.

Решаем устно

Величина угла между двумя хордами

Вспомни следующий факт:.

Пусть A, B, C, D—точки на окружности в указанном порядке. 
Тогда угол между хордами AC и BD равен (AB + CD)/2, 
угол между хордами AB и CD равен |AD − CB|/2.
(Для доказательства нужно через конец одной из хорд

провести хорду, параллельную другой хорде.)

Задача1. На окружности даны точки A, B, C, D в указанном порядке.

M—середина дуги AB. Обозначим точки пересечения хорд MC и MD

с хордой AB через E и K. Докажите, что KECD—вписанный четы-

рёхугольник.

Задача 2. На окружности даны точки A, B, C, D в указанном порядке; A1, B1, C1 и D1 —середины дуг AB, BC, CD и DA соответственно. Докажите, что A1C1 ⊥ B1D1.

Углы и окружности

1. Из точки В на окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу окружности. Найди угол между ними.
2. Из точки А на окружности проведены хорды АВ и АС, равные радиусу. Найти величину угла ВАС.  

Через 2 недели - Новый год!!!