Факты геометрии выпуклого четырёхугольника

Выпуклый четырехугольник — четырехугольник, который расположен по одну сторону от любой из своих сторон.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна .

Средняя линия — отрезок прямой, соединяющий середины противоположных сторон.

Средние линии четырехугольника в точке своего пересечения делятся пополам.

Теоремы:

• Для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма длин противоположных сторон были равны друг другу. Центр окружности — точка пересечения биссектрис.
• Для того, чтобы вокруг выпуклого четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов были равны. Центр окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам четырехугольника.

Четырехугольник Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершины четырехугольника) и четырех последовательно соединяющих эти точки отрезков (стороны четырехугольника).
При этом:
1. никакие три данные точки не лежат на одной прямой;
2. соединяющие эти точки отрезки не должны пересекаться.

Точки A, B, C, D – вершины четырехугольника.
Отрезки AB, BC, CD, DA – стороны четырехугольника.
Вершины четырехугольника называются соседними вершинами, если они являются концами одной из его сторон. Например, вершины A и B – соседние.
Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими вершинами. Например, вершины A и С – противолежащие.
Отрезки, которые соединяют противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями. AC и BD – диагонали четырехугольника.

Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними (смежными) сторонами. Например, AB и BC – соседние стороны.
Стороны не имеющие общих вершин, называются противолежащими сторонами. Например, AB и CD – противолежащие стороны.
Четырехугольник обозначается указанием его вершин, например ABCD. В обозначении четырехугольника стоящие рядом вершины должны быть соседними, т.е. обозначить четырехугольник ABDС нельзя (B и D – несоседние вершины).



Четырехугольники A1B1C1D1 и ABCD отличаются тем, что у одного диагонали пересекаются, а у другого нет. Четырехугольники у которых диагонали пересекаются будем называть выпуклыми. Сумму длин всех сторон четырехугольника будем называть периметром.
P(ABCD) = AB + BC + CD + DA.

Задачи на построение

1. Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трёх заданных точках, не лежащих на одной прямой?
2. От параллелограмма осталось только три точки: вершина и середины двух противоположных сторон. Восстановите параллелограмм.

Седьмая всероссийская олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина

В память о выдающемся деятеле российского математического образования, всемирно известном знатоке и патриоте элементарной геометрии Игоре Федоровиче Шарыгине (1937–2004) Математический институт им В.А. Стеклова РАН, Департамент образования города Москвы, Московский центр непрерывного математического образования, Московский институт открытого образования,Открытый лицей ВЗМШ, при поддержке компьютермаркета «НИКС» и АНО «Школа нового поколения», уже седьмой год проводят геометрическую олимпиаду. В оргкомитет и жюри олимпиады входят известные ученые, педагоги, энтузиасты математического просвещения из разных российских регионов.

Условия задач заочного тура Седьмой всероссийской олимпиады по геометрии имени И.Ф. Шарыгина опубликованы на странице

http://www.geometry.ru/olimp/sharygin/2011/zaochn.pdf

О геометрии

Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. 

(В. Произволов)

Ну очень интересная задача

Четыре точки окружности следуют в порядке A, B, C, D. Продолжения хорды AB за точку B и хорды CD за точку C пересекаются в точке E, причём угол AED равен 60 градусов. Угол ABD в три раза больше угла BAC. Доказать, что AD - диаметр окружности.

Решаем устно